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解密:北京示范高中分班考试(9)

来源:E度高考网        2010-07-14 11:36:29

说两句

  •   RDF中分班考试部分数学试题及答案

      【例1】有些四位数能够被3和5整除,但不是2的倍数,也不是25的倍数,那么这样的四位数中最大的一个是_ __.
      【例2】是否存在一个各位数字互不相同的数,使得它是999999的倍数?如果存在,请构造,如果不存在,请说明理由。
      答案:不存在。因为各位数字互不相同,至多是10位数。根据999999的整除性,将该多位数从右往左六位断开后求和,这个和一定是999999。通过分析这个加法竖式,可知其无进位。所以一定会有两个数字9,出现重复。
      【例3】有一个四位数是18的倍数,任意交换它两个数字的位置得到还是四位数且仍然是18的倍数,(例如4068就不满足题意,因为交换4和0之后就不再是四位数了.)则这样的四位数一共有多少个?
      答案:一定是由2,4,6,8组成的,所以数字之和一定为18,考虑到18=8+6+2+2=8+4+4+2=6+6+4+2=6+4+4+4,可以形成12+12+12+4=40个满足要求的四位数。
      二. 质数与合数【例4】是否存在一个两位数,使得它与3、5、7、11的乘积的各位数字之和都是质数?
      答案:存在。67;67×3=201,67×5=335,67×7=469,67×11=737。考虑它与3的乘积的数字和一定是3,从而这个数为34,37,67之一,经验算只有67满足要求。
      【例5】能否将1~50分成25组,使得每组两个数之和为质数。要是可以,怎么分,要是不行,说明理由。
      答案:可以:(1,2),(3,50),(4,49),(5,48),…,(26,27)
      【例6】
      三. 约数和倍数【例7】
      【例8】一个自然数的3次方恰好有100个约数,那么这个自然数本身最少有_____________个约数;答案:16
      【例9】驯兽员带着甲、乙、丙三只训练犬同时到300米长的圆形跑道的某点,让它们按同方向同时出发进行赛跑。已知甲、乙、丙的速度分别为225米/分,441米/分,625米/分,且同时出发,那么最早在多少分钟后三只犬再一次跑到了一起?
      答案:37.5分钟。
      【例10】求出六对自然数,使得每对中两数的约数个数之和是这两个数的最小公倍数。
      答案:(1,3),(1,4),(2,6),(3,6),(8,8),(12,12)。不妨设这两数为 ,则最小公倍数至少为a,如果a不是b的倍数,则最小公倍数最小为2a,这样a,b的约数个数和肯定不超过a+b不到2a,所以a一定是b的倍数,并且a 的约数个数应该不少于a的一半。聪明的读者能否根据以上提示证明这个问题只有以上的6个解呢?
      四. 余数问题1能否是一个平方数?能则举例,否则证明。?3n?【例11】已知m、n均为正整数,那么3m答案:否。考虑被8除的余数。
      【例12】有多少个这样的两位数,它除以它的各位数字之和之后得到的余数是9。
      答案:5个,它们是19,57,69,97,99。设这个两位数是ab,那么ab-9是a+b的倍数,且a+b>9,所以ab-9=10a+b-9=a+b+9×(a-1)是a+b的倍数,如果a+ b与3互质,那么a=1,b=9;如果a+b与3不互质,那么a+b=12,15或者18,当a+b=12时,a-1是4的倍数,当a+b=15时,a- 1是5的倍数,当a+b=18时,a、b都只能是9。
      2000,那么这个自然数除以99余几????,若最终写到2000,成为123???
      【例13】将自然数连续写下去1,2,3,4,答案:93;先求除以9的余数;再求除以11的余数;所以原数除以99余93。

     

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